SERIE DE TAYLOR
¿Qué es?
La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
¿Para que sirve?
La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.
Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...
¿Cómo funciona?
La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:
o expresado de otra forma
Donde n! es el factorial de n
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a
Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.
Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.
El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.
CÓMO FUNCIONA PARA UN TRUNCAMIENTO?
El error de truncamiento puede reducirse con un tamaño de paso más pequeño. Los errores de truncamiento pueden ser disminuidos cuando los de redondeo aumentan.
El error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.
Error de Propagación:
Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ = u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de la discrepancia entre u y ũ en el valor de la función.
Si u es cercana a ũ y f(u) es continua y diferenciable:
Estabilidad y Condición:
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada.
Un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumenta considerablemente por el método numérico.
Usando la serie de Taylor de primer orden:
Estimando el error relativo de f(x) como en:
El error relativo de x está dado por:
¿En qué funciones se aplica este método?
Existen series de Taylor para:
- Función exponencial
- Logaritmo natural
Serie Geométrica
Teorema del binomio
Funciones trigonométricas:
- Seno
- Coseno
- Tangente
- Secante
- Arco seno
- Arco tangente
Funciones hiperbólicas:
- Senh
- Cosh
- Tanh
- Senh-1
- Tanh-1
Función Logaritmo natural
para todo |x| < 1 y cualquier a complejo
Función Seno
En el caso de la función seno el procedimiento que se sigue es el mismo.
Primero se deriva varias veces la función y se sustituye "a" o sea 0 en cada derivada:
Función Seno
Función Coseno
Función Coseno
Para el coseno el procedimiento es el mismo.
Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de "a" en cada una para observar el patrón.
